Siano due gruppi ed un morfismo di gruppi tale che allora: /Im(f) è un isomorfismo
Sia /
Sia sottoinsieme di non vuoto e prendendo anche Ma cioè e con Allora = che è un elemento dell'immagine di perchè .
Perchè è sottogruppo normale di in quanto: è sottogruppo di G perchè se vale che perchè === Ma è anche sottogruppo normale perchè e vale che per la terza proprietà dei sottogruppi normali.Infatti ===
/ è la classe laterale con quindi ed essendo un morfismo si ha che === e quindi è ben definita.
è immagine tramite di cioè .
Un morfismo è iniettivo se e solo se il nucleo contiene solo l'elemento neutro: [Se] perchè è un morfismo e nessun altro elemento viene mandato in altrimenti non sarebbe iniettiva, quindi [solo se] Siano / e suppongo . Se fosse iniettiva avrei . = quindi per definizione di nucleo cioè . Supponendo che = quindi allora cioè il nucleo di è formato dal solo elemento neutro del quoziente.
Un morfismo sia iniettivo che suriettivo si dice isomorfismo.
C.V.D.
Data una struttura algebrica di un insieme su cui è definita un'operazione *:. ,* è un gruppo se:
Siano due gruppi è un morfismo di gruppi se: è iniettiva se e solo se = e si diche che è un monomorfismo Se è suriettiva si diche che è un epimorfismo Se è biiettiva si diche che è un isomorfismo
cioè l'immagine di è un sottogruppo di
/ è un gruppo se è un sottogruppo normale di ed è chiamato gruppo quoziente.
Sia un gruppo e , è una classe laterale sinistra di rispetto ad / è l'insieme di tutte le classi laterali sinistre rispetto ad
è una classe laterale di formata da tutti i multipli di / è l'insieme di tutte le classi laterali cioè
Sia ,* un gruppo ed è sottogruppo di cioè se:
Sia , è un sottogruppo normale se
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
Dato un morfismo con gruppi, il nucleo è definito come cioè tutti gli elementi che vengono mandati nell'elemento neutro di
Il nucleo di un morfismo è un sottogruppo normale di
è un morfismo iniettivo se e solo se
[Se] perchè è un morfismo e nessun altro elemento viene mandato in altrimenti non sarebbe iniettiva quindi [solo se] Siano e suppongo . Se fosse iniettiva avrei . = quindi per definizione di nucleo cioè .