L' anello degli interi di Gauss è un PID
Considero un ideale di Se caso banaleSe considero la cui norma è minima. Sia e considero . Questo razionale cade in uno dei quadrati formati dalla griglia di Gauss ed esiste un vertice distante meno di cioè: quindi . Considero = per la "proprietà di spugna" dell'ideale, e quindi perchè è un naturale maggiore di zero. e è un naturalequindi ma dato che per ipotesi la norma di era minima allora .Cioè quindi è multiplo di perchè cioè è l'ideale principale generato dal solo elemento .
C.V.D.
,,* è un anello se:
con Si può definire una funzione (morfismo) norma: ed essendo un morfismo si ha che:
è fattorizzabile
è un dominio che ha solo ideali principali.
PID implica UFD In un PID è irriducibile se e solo se è primo.
Un UFD è un dominio dove ogni elemento si scrive in modo unico come prodotto di irriducibili L'unicità è garantita dal fatto che gli irriducibili sono primi, infatti PID implica UFD.
Sia dominio, è primo se * e se | allora o | oppure |.
Sia dominio, è irriducibile se * e se allora o * è una unità oppure * è una unità.
Un anello commutativo è un dominio se non ha divisori dello zero: se e solo se o o o entrmbi.
Sia anello. è divisore di se con tale che
/ è divisore dello zero perchè *
Un ideale è principale se è generato da un solo elemento: t.c. cioè è l'insieme di tutte le combinazioni lineari a coefficienti in
Dato un anello e sia , sottogruppo rispetto alla somma è un ideale se vale la "proprietà di spugna": , si ha che
Se è una unità allora
L'ideale è generato da se con
ED implica PID implica UFD implica FD implica Dominio . In generale non sono vere le implicazioni inverse.
L'anello dei polinomi a coefficienti in un UFD non è un PID Il dominio dei polinomi a coefficienti interi non è un PID: non può essere generato da un solo polinomio è un dominio che non è UFD infatti si fattorizza in due modi diversi come e
Dato un dominio , Se * è sottogruppo finito allora è ciclico.
è un dominio euclideo se esiste una funzione euclidea / tale che e tali che con oppure .
Sia e considero il morfismo , scegliendo tutto il resto è determinato: Per il Teorema di Isomorfismo / è isomorfo a che è un sottogruppo di chiamato gruppo ciclico ed indicato con <>
In un dominio, primo implica irriducibile In un PID, irriducibile implica primo //* è primo se e solo se è primo è massimale se e solo se è primo
In è irriducibile ma non primo. | ma non divide nè nè Infatti non è UFD