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CAMPI FINITI

enunciato

Un campo finito F ha p^n elementi dove p primo ed è la caratteristica del campo.

dimostrazione

Considero l'unico morfismo possibile f:bbZ right F.
Essendo F finito e bbZ infinito, il morfismo non può essere iniettivo quindi Ker(f)<>delim{lbrace}{0}{rbrace} cioè Ker(f)=m bbZ
Per il Teorema di Isomorfismo, una copia di bbZ/m bbZ vive in F e di conseguenza la caratteristica di F è m.
Ma essendo F un campo, è anche un dominio e la caratteristica deve essere un numero primo, m=p, altrimenti conterrebbe divisori dello zero
Per il Teorema di Gauss F* è ciclico ed exists gamma in F* tale che F*<gamma> e dato che F è finito F=delim{lbrace}{0,gamma,gamma^2,gamma^3,...,1=gamma^{ord(gamma)}}{rbrace}
Considero il morfismo valutazione in gamma dell'anello dei polinomi a coefficienti in F:
bbZ delim{[}{X}{]} right bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]} right F delim{[}{X}{]} right F
La concatenazione di due morfismi è ancora un morfismo che va da bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]} right F e vale:
0 right 0
X right gamma
X^2 right gamma^2
...
X^n right gamma^n
.
Per il Teorema di Isomorfismo posso costruire un isomorfismo usando il morfismo appena creato che chiameremo Val(gamma):
bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]}/Ker(Val(gamma))right Im(Val(gamma))
0 right 0
X right gamma
X^2 right gamma^2
...
X^n right gamma^n
Essendo un morfismo suriettivo, Im(Val(gamma))=F
Ker(Val(gamma)) è un ideale massimale in bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]} perchè bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]}/Ker(Val(gamma)) è un campo essendo isomorfo a Im(Val(gamma))=F.
L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo è un dominio euclideo, in particolare è un PID quindi Ker(Val(gamma)) è un ideale principale <f> con f irriducibile in bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]} perchè genera un ideale massimale in un PID
Il campo F è allora isomorfo a bbZ/p bbZ delim{[}{X}{]}/<f> con f irriducibile ed essendo resti unici della divisione per f sono del tipo F=delim{lbrace}{a_0+a_1X+a_2X^2+...+a_{n-1}X^{n-1}}{} con a_i in bbZ/delim{}{p bbZ}{rbrace}
Quindi delim{|}{F}{|}= ( p scelte per il coefficiente a_0+p scelte per il coefficiente a_1+...+p scelte per il coefficiente a_{n-1} ) = p^n.

C.V.D.